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接觸仿真分析的基本原理是什么?(3)

 有了接觸控制方程，下面就是要進(jìn)行離散化。這里我們以node-to-surface和罰函數(shù)法為例說(shuō)說(shuō)接觸項(xiàng)的離散。Node-to-surface，顧名思義，兩個(gè)接觸面中，slave面由節(jié)點(diǎn)代表，master面由單元面代表。接觸檢測(cè)算法能保證每個(gè)slave節(jié)點(diǎn)至少對(duì)應(yīng)一個(gè)master面，這就是所謂的接觸單元。　　

 不像平常我們遇到的結(jié)構(gòu)單元，接觸單元是沒(méi)有實(shí)體對(duì)應(yīng)的單元概念，其任務(wù)是在離散化的時(shí)候負(fù)責(zé)接觸項(xiàng)的離散。換句話說(shuō)，接觸單元的任務(wù)是在離散模型中聯(lián)系兩個(gè)接觸體并傳遞內(nèi)力。所以，借用罰函數(shù)法的闡釋?zhuān)环涟呀佑|單元理解為接觸體之間的彈簧或者膠水。有趣的是，“膠水”這個(gè)比喻恰恰是處理區(qū)域分解的Mortar法的意思，而Mortar法在surface-to-surface接觸中應(yīng)用非常多。要注意的是，根據(jù)搜索算法和幾何構(gòu)型情況，slave節(jié)點(diǎn)可以同時(shí)和多個(gè)master平面形成接觸單元。

 在把接觸面離散為接觸單元后，力平衡方程弱解形式中的接觸項(xiàng)就變成了下面這個(gè)樣子。意思是說(shuō)，接觸面上的虛功由slave節(jié)點(diǎn)和master單元面組成的接觸單元構(gòu)成。像上次一樣，我們?nèi)匀恢豢紤]最簡(jiǎn)單的沒(méi)有摩擦的形式。　

 既然是基于位移的有限元，那么上面這個(gè)接觸項(xiàng)就應(yīng)該用位移來(lái)表示。所以，最后一步就是把形函數(shù)和等參元條件加進(jìn)來(lái)。于是接觸壓力和接觸體距離（gap）的變分表示為

 意思是說(shuō)，在接觸單元，接觸壓力是接觸距離的函數(shù)（回憶一下罰函數(shù)法的彈簧概念）。接觸距離是slave節(jié)點(diǎn)位置和master單元面表示。而master單元面又是由描述該單元的節(jié)點(diǎn)位置和形函數(shù)表示。所以這么一來(lái)大家都變回了位移－形函數(shù)的形式。這也是所有有限元離散的基本思路：控制方程－弱解－形函數(shù)表達(dá)。　　

 于是至少現(xiàn)在我們?cè)谛问缴习褑?wèn)題變得和常見(jiàn)有限元形式一致了。后面的就是組成剛度矩陣求解了。因?yàn)榻佑|壓力的表達(dá)形式也含有位移（再回憶下罰函數(shù)彈簧），所以通常要求解非線性方程，那于是就交給牛頓法了。　　

 這個(gè)系列我們只說(shuō)了最簡(jiǎn)單的情形：正面無(wú)摩擦接觸和罰函數(shù)法。把滑動(dòng)和摩擦加進(jìn)來(lái)之后，問(wèn)題還要糾結(jié)地多。另外，線單元與線單元的接觸也有很多技術(shù)細(xì)節(jié)。上面說(shuō)的方法的還有一個(gè)前提：用戶(hù)事先定義接觸體。但在實(shí)際應(yīng)用中，還有很多問(wèn)題事先是不知道誰(shuí)和誰(shuí)會(huì)接觸的。比如說(shuō)下圖網(wǎng)球擊打球拍的問(wèn)題。動(dòng)力模擬之前是不知道球體和哪根線單元發(fā)生接觸的。于是現(xiàn)代求解器都朝著自動(dòng)解除的傻瓜方向發(fā)展，比如說(shuō)現(xiàn)在ABAQUS已經(jīng)基本實(shí)現(xiàn)了，Ansys，OptiStruct等也在陸續(xù)實(shí)現(xiàn)。

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